Cubic Spline Fitting of Yield Curve（收益率曲线的三次样条拟合）详解

1. 概述

Cubic Spline Fitting（三次样条拟合） 是一种用于拟合 收益率曲线（Yield Curve） 的方法。它利用分段三次多项式在数据点之间进行插值或平滑，以构建一个光滑的收益率曲线。

与 Nelson-Siegel 这类参数化模型不同，三次样条拟合是一种非参数方法，可以更灵活地适应复杂的曲线形状。
它的核心思想是：

• 将收益率曲线分成多个区间，每个区间用三次多项式拟合。

• 确保段与段之间的连接处光滑（即保证一阶导数、二阶导数连续）。

• 可以插值或平滑数据，适用于市场收益率曲线的构建。

2. 三次样条（Cubic Spline）的数学定义

(1) 设定问题

假设我们有 $n+1$ 个数据点（即收益率曲线上的市场数据）：

$$(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$$

其中：

• $x_i$ 表示债券的期限（Maturity）。

• $y_i$ 表示对应的收益率（Yield）。

(2) 三次样条函数

我们希望在每个区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上用一个三次多项式 $S_i(x)$ 进行拟合：

$$S_i(x) = a_i + b_i (x - x_i) + c_i (x - x_i)^2 + d_i (x - x_i)^3$$

其中：

• $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是每个区间的待定系数。

(3) 约束条件

为了保证光滑连接，需要满足以下四个条件：

1. 插值条件（Interpolation Condition）：
   每个样条曲线要经过数据点：

   $$S_i(x_i) = y_i, \quad S_i(x_{i+1}) = y_{i+1}$$

2. 一阶导数连续（First Derivative Continuity）：
   每个区间的导数在连接点处相等：

   $$S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1})$$

3. 二阶导数连续（Second Derivative Continuity）：
   每个区间的二阶导数在连接点处相等：

   $$S_i''(x_{i+1}) = S_{i+1}''(x_{i+1})$$

4. 边界条件（Boundary Conditions）：

• 自然边界（Natural Spline）：$$S_0''(x_0) = 0, \quad S_n''(x_n) = 0$$

• 黏性边界（Clamped Spline）（已知起点和终点的一阶导数）：$$S_0'(x_0) = y'_0, \quad S_n'(x_n) = y'_n$$

这样，我们可以通过 $n+1$ 个方程 + 额外的边界条件，解出所有 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 的值。

3. 三次样条拟合的计算方法

(1) 组建矩阵方程

定义 $M_i = S_i''(x_i)$，即每个数据点的二阶导数值。
通过样条条件可以建立一个三对角线矩阵（Tridiagonal Matrix） 来求解 $M_i$：

$$\begin{bmatrix}  2h_0 & h_0  & 0  & 0  & \dots  & 0  \\  h_0  & 2(h_0 + h_1) & h_1  & 0  & \dots  & 0  \\  0  & h_1  & 2(h_1 + h_2) & h_2  & \dots  & 0  \\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & h_{n-1}  \\  0  & 0  & 0  & h_{n-1}  & 2h_{n-1} & h_{n-1} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  M_0  \\  M_1  \\  M_2  \\  \vdots \\  M_n  \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  d_0  \\  d_1  \\  d_2  \\  \vdots \\  d_{n-1}  \\ \end{bmatrix}$$

• $h_i = x_{i+1} - x_i$

• $d_i = \frac{6}{h_i} (y_{i+1} - y_i) - \frac{6}{h_{i-1}} (y_i - y_{i-1})$

解出 $M_i$ 后，可以计算 $b_i, c_i, d_i$ 并得到完整的样条函数。

4. Python 实现

Python 提供了 scipy.interpolate.CubicSpline 来实现三次样条拟合：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import CubicSpline

# 市场收益率曲线数据（期限：年，收益率：%）
maturities = np.array([0.25, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20])
yields = np.array([3.0, 2.8, 2.5, 2.3, 2.1, 2.4, 2.7])

# 三次样条拟合
cs = CubicSpline(maturities, yields, bc_type='natural')  # 自然边界条件

# 生成平滑曲线
x_new = np.linspace(0.1, 30, 100)
y_new = cs(x_new)

# 绘制结果
plt.scatter(maturities, yields, color='red', label='Market Data')
plt.plot(x_new, y_new, label='Cubic Spline Fit', color='blue')
plt.xlabel('Maturity (Years)')
plt.ylabel('Yield (%)')
plt.title('Cubic Spline Yield Curve')
plt.legend()
plt.show()

5. Cubic Spline Fitting vs Nelson-Siegel

6. 结论

✅ 三次样条拟合适用于短期国债和零息收益率曲线的插值，但不能解释收益率曲线的经济含义。
✅ 在央行、金融机构中，通常结合 Nelson-Siegel 方法和三次样条进行分析。
✅ 适用于需要高精度曲线的场景（如定价衍生品）。