Sklar's Theorem（斯克拉定理）是Copula理论中的核心定理，由数学家Abe Sklar于1959年提出。该定理揭示了联合分布、边际分布与Copula函数之间的关系，为描述多维随机变量间的依赖结构提供了数学基础。

定理的核心内容

1. 存在性与构造性  
   对于任意一个联合分布函数 ( H(x, y) )，若其对应的边际分布分别为 ( F(x) ) 和 ( G(y) )，则存在一个Copula函数 ( C ) 使得：  
   $$
   H(x, y) = C(F(x), G(y))
   $$  
   当边际分布 ( F ) 和 ( G ) 连续时，Copula ( C ) 是唯一的。

2. 逆过程  
   反之，若给定Copula函数 ( C ) 和边际分布 ( F(x) )、( G(y) )，则 ( H(x, y) = C(F(x), G(y)) ) 必然是一个联合分布函数，且其边际分布为 ( F ) 和 ( G )。

定理的意义

• 分离边缘与依赖结构：Sklar定理表明，任何联合分布均可分解为边缘分布和Copula函数两部分。Copula独立于边缘分布，仅描述变量间的依赖关系，这为建模多维数据的相关性提供了灵活性。

• 应用广泛性：在金融风险管理、资产定价、气候统计等领域，Copula通过Sklar定理成为连接不同变量尾部依赖（如极端事件关联性）的重要工具。

扩展与相关概念

• Quasi-inverse（拟逆函数）：当边际分布非连续时，需通过拟逆函数定义Copula，此时Copula可能不唯一。

• 随机变量的单调变换：Copula在随机变量的严格单调变换下具有不变性。例如，若 $ \alpha(X) $ 和 $ \beta(Y) $ 为严格单调增函数，则 $ C_{\alpha(X),\beta(Y)} = C_{X,Y} $ 。

实际应用示例

在金融工程中，若需模拟两种资产收益率的联合分布，可先估计各自的边缘分布（如正态分布或t分布），再通过Copula（如高斯Copula或t-Copula）描述其相关性，从而生成更符合实际风险特征的联合分布模型。

局限性

• 数据要求：Copula的估计依赖大量数据，尤其在尾部依赖分析中需要足够多的极端事件样本。

• 模型假设：不同Copula（如高斯Copula）对依赖结构的假设可能过于简化，2008年金融危机中高斯Copula对相关性的低估即是一例。

综上，Sklar's Theorem通过数学形式统一了联合分布与边缘分布的关系，为复杂依赖建模提供了理论框架，但其实际应用需结合具体场景谨慎选择Copula类型和参数。