Spline 插值方法

Spline 插值是一种使用低次多项式在数据区间内进行分段插值的技术，最常用的是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）。其基本思想是将整个插值区间分成若干小段，在每个小段上用较低阶的多项式进行逼近，同时在相邻分段的接点处保证函数值以及一阶、二阶导数的连续性。这种方法能够生成一条光滑的曲线，并有效地解决高次多项式插值中可能出现的数值不稳定问题。

Runge 现象

Runge 现象描述的是在用高次多项式进行插值时（尤其是在节点等距的情况下），插值多项式在区间边缘处出现剧烈振荡，导致插值结果偏离真实函数。一个经典的例子是对于函数

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

在 $[-5,5]$ 区间上使用等距节点进行插值，高次多项式会在两端产生明显的震荡，从而使插值效果变差。

二者之间的关系

由于 Runge 现象通常出现在高次多项式插值中，使用低次多项式分段插值（如 spline 插值）能够有效避免这种现象。通过在每个小区间内仅使用低次多项式，再加上在节点处的平滑连接，spline 方法既保持了较高的精度，又保证了全局曲线的平滑性，是解决 Runge 现象的常用方法之一。