偏态正态分布（Skew Normal Distribution）详解

1. 基本定义

偏态正态分布是正态分布的扩展形式，通过引入一个形状参数（$\alpha$）来控制分布的偏斜方向和强度。当 $\alpha = 0$ 时，分布退化为标准正态分布。

2. 概率密度函数（PDF）

$$
f(x; \xi, \omega, \alpha) = \frac{2}{\omega} \phi\left( \frac{x - \xi}{\omega} \right) \Phi\left( \alpha \cdot \frac{x - \xi}{\omega} \right)
$$

• 参数：

• $\xi$：位置参数（控制分布中心位置）。

• $\omega$：尺度参数（控制分布宽度，$\omega > 0$）。

• $\alpha$：形状参数（控制偏斜方向和强度）。

• 函数符号：

• $\phi(z)$：标准正态分布的PDF，$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$。

• $\Phi(z)$：标准正态分布的CDF，$\Phi(z) = \int_{-\infty}^z \phi(t) \, dt$。

偏斜方向：

• $\alpha > 0$：分布右偏（右侧尾部更厚）。

• $\alpha < 0$：分布左偏（左侧尾部更厚）。

3. 累积分布函数（CDF）

$$
F(x; \xi, \omega, \alpha) = \Phi\left( \frac{x - \xi}{\omega} \right) - 2 T\left( \frac{x - \xi}{\omega}, \alpha \right)
$$

• Owen T函数：$T(h, a) = \frac{1}{2\pi} \int_0^a \frac{e^{-h^2 (1 + x^2)/2}}{1 + x^2} \, dx$，用于计算CDF的非对称部分。

4. 统计性质

5. 参数估计方法

1. 最大似然估计（MLE）  
   通过最大化对数似然函数求解参数 $(\xi, \omega, \alpha)$，需使用数值优化算法（如牛顿法）。

2. 矩估计法  
   利用样本均值、方差和偏度匹配理论矩，需解非线性方程组：

• 样本均值 $\bar{x} \approx \mu$

• 样本方差 $s^2 \approx \sigma^2$

• 样本偏度 $g_1 \approx \gamma_1$

6. 应用场景

• 金融领域：股票收益率常呈现右偏（$\alpha > 0$）。

• 社会科学：收入分布（左偏，$\alpha < 0$）。

• 生物学：非对称的生长指标测量（如植物叶片长度）。

7. 与其他分布的关系

8. Python代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import skewnorm
# 生成右偏数据（α=4）
alpha = 4
data = skewnorm.rvs(alpha, loc=0, scale=1, size=1000)
# 绘制直方图与理论PDF
x = np.linspace(-3, 5, 1000)
pdf = skewnorm.pdf(x, alpha, loc=0, scale=1)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.hist(data, bins=50, density=True, alpha=0.6, label="样本数据")
plt.plot(x, pdf, "r-", lw=2, label=f"理论PDF (α={alpha})")
plt.title("偏态正态分布示例（右偏）")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("概率密度")
plt.legend()
plt.show()